Математические модели могут. Математическое моделирование. На каждый элемент прибора обслуживания П i поступают потоки событий: в накопитель H i поток заявок w i, на канал k i - поток обслуживания u i

Основные понятия математического моделирования; виды математических моделей.

Цель лекции:

Изучить основные понятия математического моделирования и виды математических моделей.

2.1 Основные термины в математическом моделировании

Каждая математическая модель представляет собой упорядоченную комбинацию таких составляющих как компоненты, переменные, параметры, функциональные зависимости.

Под компонентами модели понимают составные части, которые при соответствующем объединении образуют систему. Компоненты могут быть либо неделимые структурные образования ("элементы" модели), либо составные части, являющиеся "подсистемами".

Обычно входы и выходы системы называют переменными , остальные величины – параметрами. Эти допущения приняты условно. Без каких-либо дополнительных соглашений ответить невозможно, где переменные, а где параметры. В качестве такого соглашения может быть принят, например, класс функций. Деление переменных на входные и выходные тоже не является абсолютным. Это справедливо по отношению к определенной системе. Надо исходить из конкретной характеристики всей изучаемой системы. Входы системы (экзогенные переменные) порождаются вне изучаемой системы и являются результатом действия внешних причин. Выходы (эндогенные переменные) возникают в системе в результате действия на нее экзогенных переменных.

Главные составляющие модели – функциональные зависимости, которые описывают поведение переменных и параметров системы или компонента. Обычно они устанавливают внутренние отношения между экзогенными (х) и эндогенными (у) переменными либо между переменными и зависимыми от них параметрами (р):

а) y = φ(p,x),

б) р = ψ(x,y).

Функции φ часто называют операторными (или просто операторами), а функции ψ – параметрическими. Закон функционирования системы, может быть задан аналитически, графически, таблично и т.д.

Последняя составляющая моделей – ограничения . В простейшем случае к ограничениям относят область изменения вектора аргументов модели xD x . Параметры модели тоже могут задаваться на некотором разрешенном множестве pD p .

Чаще всего считается, что моделируемая система не оказывает действия на окружающую среду. Вопрос о допустимости пренебрежения внешней средой должен быть обоснован.

2.2. Основные виды математических моделей

Создание некоторой универсальной модели, отвечающей различным аспектам ее применения, практически невозможно. Для получения информации, отражающей те или иные свойства управляемого объекта, необходима классификация моделей. В основе классификации лежат особенности оператора φ . Все многообразие объектов управления, исходя из временного и пространственного признаков, можно разделить на следующие классы: статические или динамические; линейные или нелинейные; непрерывные или дискретные во времени; стационарные или нестационарные; процессы, в ходе которых их параметры изменяются в пространстве, и процессы без пространственного изменения параметров. Так как математические моделии являются отражением соответствующих объектов, то для них характерны те же классы. Полное наименование модели может включать в себя совокупность перечисленных признаков. Эти признаки послужили основой названия соответствующих типов моделей.

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе все модели могут быть разделены на следующие виды:

Детерминированные модели – отображают детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий.

Стохастические модели – отображают вероятностные процессы и события; в этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса, и оцениваются средние характеристики.

Стационарные и нестационарные модели. Модель называется стационарной, если вид оператора φ и его параметры p не изменяются во времени, то есть, когда справедливо

φ= φ, т.е. y= φ(p,x).

Если же параметры модели изменяются во времени, то модель является

параметрически нестационарной

y= φ.

Самый общий вид нестационарности – когда от времени зависит и вид функции. Тогда в запись функции добавляется еще один аргумент

y= φ(p,t,x).

Статические и динамические модели. В основе такого разделения типов моделей лежат особенности движения исследуемого объекта как материальной системы.

Говоря о моделях с позиций задач управления, надо отметить, что под пространством здесь понимается не геометрическое пространство, а пространство состояний – координат состояний выходных переменных у . Элементами вектора y являются обычно контролируемые технологические параметры (расход, давление, температура, влажность, вязкость и т.д.). Состав элементов вектораy для самого объекта может быть шире, чем для модели этого объекта, так как при моделировании требуется изучение только части свойств реальной системы. Движение объекта управления в пространстве состояний и во времени оценивается с помощью векторного процесса y(t).

Модель системы называется статической , если состояние системы не изменяется, то есть система находится в равновесии, но движение связано со статичным состоянием объекта, находящегося в равновесии. Математическое описание в статических моделях не включает время как переменную и состоит из алгебраических уравнений либо дифференциальных уравнений в случае объектов с распределенными параметрами. Статические модели обычно являются нелинейными. Они точно отражают состояние равновесия, вызванное переходом объекта от одного режима к другому.

Динамическая модель отражает изменение состояния объекта во времени. Математическое описание таких моделей обязательно включает производную во времени. Динамические модели используют дифференциальные уравнения. Точные решения этих уравненийизвестны только для некоторого класса дифференциальных уравнений. Чаще приходится прибегать к использованию численных методов, являющихся приближенными.

Для целей управления динамическую модель представляют в виде передаточной функции, связывающей входные и выходные переменные.

Линейные и нелинейные модели. Математически функция L (x ) – линейна, если

L(λ 1 x 1 +λ 2 x 2)=λ 1 L(x 1)+λ 2 L(x 2).

Аналогично и для функций многих переменных. Линейной функции присуще использование только операций алгебраического сложения и умножения переменной на постоянный коэффициент. Если в выражении для оператора моделиесть нелинейные операции, то модель является нелинейной , в противном случае модель – линейна .

Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами. Следует отметить, что с учетом введенной терминологии было бы корректнее в названии модели вместо слова «параметры» употреблять понятие «координата состояния». Однако это сложившееся название, которое часто встречается во всех работах по моделированию технологических процессов.

Если основные переменные процесса изменяются как во времени, так и в пространстве (или только в пространстве), то модели, описывающие такие процессы, называются моделями с распределенными параметрами. В этом случае вводится геометрическое пространство z =(z 1 , z 2 , z 3 ) и уравнения имеют вид:

y(z)=φ, p(z)=ψ.

Их математическое описание включает обычно дифференциальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные уравнения в случае стационарных процессов с одной пространственной координатой.

Если можно пренебречь пространственной неравномерность значений координат состояний объекта, т.е. градиент , то соответствующая модель – модель с сосредоточенными параметрами. Для них масса и энергия как бы сосредоточены в одной точке.

Трехмерность пространства не всегда обязательна. Например, модель змеевика с нагреваемым рабочим телом и с тонкостенной оболочкой обычно исходит из одномерности объекта – учитывается только длина змеевика. В то же время процесс передачи тепла в ограниченный объем рабочего тела через толстую стенку может быть описан одномерной моделью, учитывающей только толщину оболочки и т.п. Для конкретных объектов форма соответствующих уравнений требует обоснований.

Модели непрерывные и дискретные во времени. Непрерывные модели отражают непрерывные процессы в системах. Модели, описывающие состояние объектов относительно времени как непрерывного аргумента – непрерывные (по времени):

y(t)=φ, p(t)=ψ.

Дискретные модели служат для описания процессов, которые предполагаются дискретными. Дискретная модель не может дать прогноз поведения объекта на интервале между дискретными отсчетами времени. Если введем квантование по времени с шагом ∆t, то рассматривается дискретная шкала , где i=0,1,2…- приобретает смысл относительного времени. И дискретная модель:

y(i)=φ; p(i)=ψ.

При правильном выборе шага ∆t можно ожидать от дискретной модели результата с наперед заданной точностью. При изменении ∆t должны быть пересчитаны и коэффициенты разностного уравнения.

Дискретно-непрерывные модели используются для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

Требования, предъявляемые к математическим моделям: точность – свойство, отражающее степень совпадения предсказанных с помощью модели значений параметров объекта с их истинными значениями; экономичность затрат машинного времени; универсальность – применимость к анализу группы однотипных объектов.

Рассмотрим понятие: «Модели. Классификация моделей» с научной точки зрения.

Классификация

В настоящее время существует деление их на отдельные группы. В зависимости от целевого назначения подразумевается такая классификация экономико-математических моделей:

• теоретико-аналитические виды, связанные с исследованиями общих характеристик и закономерностей;
• прикладные модели, направленные на решение определенных экономических задач. К ним относят модели прогнозирования, экономического анализа, управления.

Классификация экономико-математических моделей связана и со сферой их практического применения.

В зависимости от содержательной проблематики, такие модели подразделяют на группы:

• производственные модели в целом;
• отдельные варианты для регионов, подсистем, отраслей;
• комплексы моделей потребления, производства, распределения и формирования трудовых ресурсов, доходов, финансовых связей.

Классификация моделей данных групп подразумевает выделение структурных, подсистем.

При проведении исследований на хозяйственном уровне структурных моделей объясняется взаимосвязью отдельных подсистем. В качестве распространенных вариантов можно выделить модели межотраслевых систем.

Функциональные варианты используются для экономического регулирования товарно-денежных отношений. Можно один и тот же объект представить в виде функциональной, структурной форм одновременно.

Применение в исследованиях на хозяйственном уровне структурных моделей обосновано взаимосвязью подсистем. Типичными в данном случае являются модели межотраслевых связей.

Функциональные модели широко применяются в сфере экономического регулирования. Типичными в данном случае являются модели поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений.

Отличия между моделями

Проанализируем разные модели. Классификация моделей, используемых в настоящее время в экономике, предполагает выделение нормативных и дескриптивных вариантов. Используя дескриптивные модели можно объяснить анализируемые факты, прогнозировать возможность существования определенных фактов.

Цель дескриптивного похода

Она предполагает эмпирическое выявление разных зависимостей в современной экономике. Например, устанавливаются статистические закономерности различных социальных групп, изучаются вероятные пути развития определенных процессов при постоянных условиях либо без внешних воздействий. На основе результатов, полученных в ходе социологического опроса, можно выстроить модель покупательского спроса.

Нормативные модели

С их помощью можно предположить целенаправленную деятельность. В качестве примера можно представить модель оптимального планирования.

Может быть и нормативной, и дескриптивной. Если модель применяется при проведении анализа пропорций ушедшего периода, она дескриптивна. При расчете с ее помощью оптимальных путей развития экономики она является нормативной.

Признаки моделей

Классификация моделей предполагает учет отдельных функций, которые помогают уточнять спорные моменты. Максимальное распространение дескриптивный подход нашел в имитационном моделировании.

В зависимости от характера обнаружения причинно-следственных связей существует классификация моделей на варианты, включающие отдельные элементы неопределенности и случайности, а также жестко детерминистские модели. Важно отличать неопределенность, которая базируется на теории вероятности, и неопределенность, выходящую за границы действия закона.

Деление моделей по способам отражения временного фактора

Предполагается классификация моделей по данному фактору на динамические и статические виды. Статические модели предполагают рассмотрение всех закономерностей в определенный промежуток времени. Динамические варианты характеризуются изменениями во времени. В зависимости от продолжительности применения допускается классификация моделей на следующие варианты:

• краткосрочные, длительность которых не превышает года;
• среднесрочные, рассчитанные на срок от года до пяти лет;
• долгосрочные, рассчитанные на срок более пяти лет.

В зависимости от специфики проекта, допускается внесение изменений в процессе использования модели.

По форме математических зависимостей

Основанием классификации моделей является форма математических зависимостей, выбранная для работы. В основном пользуются для проведения вычислений и анализа классом линейных моделей. Рассмотрим экономические виды моделей. Классификация моделей такого вида помогает изучать изменение потребления и спроса населения в случае роста их материальных доходов. Кроме того, с помощью анализируется изменения потребности населения в случае увеличения производства, оценивается эффективность применения ресурсов в конкретной ситуации.

В зависимости от соотношения эндогенных и экзогенных переменных, которые включаются в модель, применяется классификация моделей данных видов на закрытые и открытые системы.

Любая модель должна включать минимум одну эндогенную переменную, в связи с чем полностью открытые системы найти весьма проблематично. Модели, которые не включают экзогенных переменных (закрытые варианты) также практически не распространены. Для того чтобы создать подобный вариант, придется в полной мере абстрагироваться от среды, допустить серьезные огрубления реальной экономической системы, имеющей внешние связи.

По мере увеличения достижений математических и экономических исследований классификация моделей, систем, существенно усложняется. В настоящее время используются смешанные типы, а также сложные модельные конструкции. Единая классификация информационных моделей на данный момент не установлена. При этом можно отметить около десяти параметров, по которым происходит выстраивание типов моделей.

Типы моделей

Монографическая или словесная модель предполагает описание процесса или явления. Часто речь идет о правилах, законе, теореме либо совокупности нескольких параметров.

Графическая модель оформляется в виде чертежа, географической карты, рисунка. К примеру, взаимосвязь между потребительским спросом и стоимостью продукции можно представить с помощью координатных осей. График наглядно демонстрирует зависимость между двумя величинами.

Вещественные либо физические модели создают для объектов, которые пока в реальности не существуют.

Степень агрегирования объектов

Существует классификация информационных моделей по данному признаку на:

• локальные, с помощью которых осуществляется анализ и прогноз определенных показателей развития отрасли;
• на микроэкономические, предназначенные для серьезного анализа структуры производства;
• макроэкономические, базирующиеся на изучении хозяйства.

Есть и отдельная классификация моделей управления для макроэкономических видов. Они подразделяются на одно-, двух-, многосекторные варианты.

В зависимости от цели создания и использования различают следующие варианты:

• детерминированные, имеющие однозначно понятные результаты;
• стохастические, которые предполагают вероятностные итоги.

В современной экономике выделяют балансовые модели, в которых отражается требование соответствия базы ресурсов и их применения. Для их записи используют форму квадратных шахматных матриц.

Есть и эконометрические виды, для оценивания которых применяются методы математической статистики. На подобных моделях выражают развитие главных показателей создаваемой экономической системы посредством длительной тенденции (тренда). Они востребованы в анализе и прогнозировании определенных экономических ситуаций, связанных с реальной статистической информацией.

Оптимизационные модели дают возможность из множества альтернативных (возможных) вариантов выбрать оптимальный вариант производства, потребления либо распределения ресурсов. Применение ограниченных ресурсов в такой ситуации будет самым эффективным средством для получения поставленной цели.

Предполагают участие в проекте не только эксперта, но и специализированного программного обеспечения, ЭВМ. Создаваемая в итоге экспертная база данных предназначается для решения путем имитации деятельности человека одной или нескольких задач.

Сетевые модели представляют собой комплекс операций и событий, взаимосвязанных во времени. Чаще всего такая модель предназначается для осуществления работ в такой последовательности, чтобы добиться минимальных сроков выполнения проекта.

В зависимости от выбранного типа математического аппарата выделяют модели:

• матричные;
• корреляционно-регрессивные;
• сетевые;
• управления запасами;
• массового обслуживания.

Этапы экономико-математического моделирования

Данный процесс является целенаправленным, он подчиняется определенной логической программе действий. Среди основных этапов создания такой модели выделяют:

• постановку экономической проблемы и проведение ее качественного анализа;
• разработку математической модели;
• подготовку исходной информации;
• численное решение;
• проведение анализа полученных результатов, их использование.

При постановке экономической проблемы, необходимо четко сформулировать суть проблемы, отметить важные черты и параметры моделируемого объекта, проанализировать взаимосвязь отдельных элементов, чтобы объяснить развитие и поведение рассматриваемого объекта.

При разработке математической модели выявляется зависимость между уравнениями, неравенствами, функциями. Прежде всего определяют тип модели, анализируют возможность применения ее в конкретной задаче, формируется конкретный перечень параметров и переменных. При рассмотрении сложных объектов выстраивают разноаспектные модели, чтобы каждая характеризовала отдельные стороны объекта.

Заключение

В настоящее время не существует отдельное понятие модели. Классификация моделей является условной, но это не снижает их актуальности.

Математические модели, составляют абстрактную часть спектра (рис. 7.2), в целях удобства их использования в различных отраслях, в том числе и в логистике, классифицируют по шести наиболее представительными признакам:

Способа получения модели;

Способа описания или представление объекта или его свойств;

Способа формализации объекта или его свойств;

Принадлежности к иерархического уровня;

Степени масштабности описания объекта или его свойств;

Степени сложности описания объекта или его свойств.

По способу получения модели делятся на теоретические , нейронные (персептроны) и эмпирические .

Теоретические модели выводятся математически на основе знания первичных законов классической механики, электродинамики, химии и т.д. Модели, полученные из реальной жизни на основе статистической обработки результатов наблюдений, формируют группу эмпирических. Проблема построения эмпирической модели включает и выбор формы этой модели, подходящей, а также разумной степени ее сложности, совместим с имеющимися экспериментальными данными.

За последние годы в области моделирования экономических процессов все большее значение приобретают нейронные модели (персептроны). Нейронная модель (персептрон) состоит из бинарных нейроподобных элементов и имеет простую топологию.

Самый персептрон включает в себя матрицы бинарных входов (сенсорных нейронов или сетчатки, куда подаются входные образы), набора бинарных нейроподобних элементов с фиксированными связями к подмножеств сетчатки, бинарного Нейроподобная элемента с модифицированными связями в этих предикатов (элементов, решают) .

Предварительно персептрон использовался для решения задачи автоматической классификации, в общем состоит в разделении пространства признаков между заданным количеством классов. В сегодняшних условиях на уровне нейронных сетей можно решить проблему логистического прогнозирования, которая формализуется через задачу распознавания образов.

Рассмотрим следующий пример. Есть данные по текущему спросу на продукцию фирмы за шесть лет (Ас = 6): 71, 80, 101, 84, 60, 73.

Для формализации задачи используем метод окон. Зададим размеры окон η = 3, т = 1 и уровень возбуждения Нейроподобная элемента s = 1. Далее, с помощью метода окон с уже фиксированными параметрами n, т, s для нейронной сети генерируется следующая обучающая выборка:

Как видим, каждый последующий вектор образуется в результате сдвига окон W и и W 0 вправо на один элемент (s = 1). При этом предполагается наличие скрытых зависимостей во временной последовательности как множестве наблюдений.

Нейронная сеть, обучаясь на этих наблюдениях и соответственно настраивая свои коэффициенты, пытается извлечь эти закономерности и сформировать в результате ожидаемую функцию прогноза, то есть "построить" модель . Прогнозирование осуществляется по тому же принципу, что и формирование обучающей выборки.

По способу описания объекта модели делятся следующим образом:

1) алгебраические;

2) регрессионно-корреляционные;

3) вероятностно-статистические, объединяющих в себе модели теории очередей, модели запасов и статистические модели;

4) математического программирования - линейного программирования, сетевые (поточные).

Относительно первой группы моделей - алгебраических , необходимо сразу оговориться, что они по сути своей для логиста носят вспомогательный характер для принятия правильного решения. Алгебраические модели используются обычно при решении таких задач, как анализ "критической точки" и анализ "затраты - прибыль".

Регрессионно-корреляционные модели , представляющие вторую группу, является обобщением экстраполяционных и статистических моделей и используются для описания специфики объекта или его свойств.

Третью группу составляют вероятностно-статистические модели , основанные на фенологических явлениях и гипотезах. Данные модели могут быть детерминированными или стохастическими. Так, например, зависимость В = φ (Χ), которая установлена по результатам наблюдений случайных величин X и В методом наименьших квадратов, представляет собой детерминированную модель. Если же учесть наблюдаемые в результате опытов случайные отклонения экспериментальных точек от кривой У = φ (Х) и записать зависимость В от X в виде В = φ (Χ) + Ζ (где Ζ - некоторая случайная величина), то получим стохастической модели в ее идеальном выражении.

При этом величины X и В могут быть как скалярными, так и векторными. Функция φ (Χ) может быть как линейной комбинацией этих функций, так и данной нелинейной функцией, параметры которой определяются методом наименьших квадратов.

Модели линейного программирования все шире используются для решения задач логистической направленности.

Кто знаком с математическим программированием, тот знает, что ее решить в общем виде практически невозможно. Однако наиболее разработанными в математическом программировании есть задачи линейного программирования.

В задачах линейного программирования целевая функция линейная, а условия-ограничения включают линейные равенства и линейные неравенства; переменные могут быть подчинены или не подчинены требованию непреложности.

Для демонстрации простоты решений логистических задач с помощью линейного программирования обратимся к двум известным задач:

Первая - о бабку, что собирается на рынок, чтобы продать живность, которая выросла у нее во дворе за год;

Вторая - о питании.

Задача первая (о бабку)

Суть данной задачи сводится к получению ответа на простой вопрос: "Сколько надо взять бабки для продажи на рынке живых гусей, уток и кур, чтобы она получила наибольшую выручку при условии, что она может доставить на рынок живности массой не более Р кг?". При этом известны:

Масса курицы (т,), утки (т 2 ) и гуся (т3)

Стоимость курицы (с7), утки (с2) и гуся (с3).

Рассмотрим алгоритм решения задачи.

1. Для решения задачи обозначим количество, соответственно, кур - х 1 уток - х 2, гусей - х 3, взятых бабкой для продажи на рынок.

2. Составим целевую функцию этой задачи:

3. Опишем ограничения на решение задачи.

Масса товара, бабка может доставить одновременно на рынок, не должна превысить Р килограмм:

Значение , и должны быть положительными целыми числами (), то есть:

Выполнив три описанных шаги, получаем задачу линейного программирования. Подставляя исходные значения х, т, с и Р, находим ответ на поставленный вопрос.

Задача вторая (о питании)

Кафе "Бистро" ежедневно в магазине закупает продукты питания для приготовления определенных блюд для своих посетителей. В рацион входят три различных питательных вещества (b ) и нужно их, соответственно, не менее b 1, b 2, b 3 единиц. В магазине продается пять видов различных продуктов х 1 - х 5 по цене, соответственно, С-И - с 5.

Каждая единица продукта i-го вида (х i) содержит а иj единиц j-й питательного вещества, то есть, например, а 2 с показывает, что в единицы второго продукта третьей питательного вещества будет а 23 единиц.

Поскольку кафе работает в окружении конкурентов, необходимо правильно определить количество продуктов каждого вида х 1 - x 5, которые стоит закупить. При этом надо выполнить следующие условия:

1) чтобы стоимость продуктов была минимальной;

2) чтобы в рационе блюд в нужном количестве содержались все необходимые питательные вещества.

Математическая постановка решения задачи будет следующая:

1. Целевая функция данной задачи - минимизировать стоимость продуктов х 1 - х 5. Математически это будет выглядеть следующим образом:

2. Условия ограничения решения задачи:

а) количество первой питательного вещества должна быть не менее b 1 ,:

б) количество второй питательного вещества должна быть не менее b 2 :

в) количество третьей питательного вещества должна быть не менее b 3:

При этом следует иметь в виду, что количество продуктов не может иметь отрицательное число, то есть:

Для правильного понимания решения приведенной задачи рассмотрим следующий пример.

Пусть в данной задачи будем иметь следующие исходные данные:

Целевая функция будет иметь следующий вид:

Определять минимальное значение функции надо при условии выполнения следующих ограничений:

Имея в виду, что количество продуктов не может быть отрицательным числом, принимаем, что

В результате решения задачи по представленным исходным данным имеем следующий ответ: и . При данных значениях целевая функция будет иметь следующее значение:

Сетевые (поточные) модели.

Важным классом задач математического программирования являются так называемые сетевые (поточные) задачи, в терминах которых могут быть сформулированы задачи линейного программирования.

Рассмотрим в качестве примера так называемую транспортную задачу (рис. 7.3), что является одной из первых потоковых задач, которая была решена в 1941 г.. Ф.Л. Хитчкок.

Пусть есть два завода (1 и 2) и три состава (А, Б, В). Заводы производят, соответственно, s1 и s2 единиц продукции. Склады имеют возможность принять на хранение d1, d2 и d3 единиц продукции, то есть:

Задача состоит в том, чтобы минимизировать затраты на перевозку продукции от заводов-производителей на склады. Зададим следующие исходные условия. Предположим, ЧТО Х ij - объем продукции, который необходимо перевезти из i-го завода на j-й состав; с - - стоимость перевозки единицы продукции с i-го завода на j-й состав. Тогда целевая функция задачи - стоимость перевозки, будет иметь следующий вид:

Рис. 7.3.

Условие того, что вся продукция будет транспортироваться с каждого завода:

Данные равенства можно записать в краткой форме, а именно:

Условие заполнения складов имеет следующий вид: причем

Данная модель может быть описана с помощью сети, если предположить, что узлами сети есть заводы и склады, а дугами - дороги для перевозки груза (рис. 7.3). Сформулирована транспортная задача является частным случаем задачи поиска потока минимальной стоимости в пределах сети.

Сетевые задачи применяют при проектировании и усовершенствованные больших и сложных систем, а также при условии поиска путей их наиболее рационального использования. В первую очередь, это связано с тем, что с помощью сетей можно достаточно просто построить модель системы. Последнее базируется на идее критического пути (метод СРМ) и оценке и средствах наблюдения (например, система PERT- Program Evalution Research Task).

Кроме того, сети позволяют осуществить :

Формализацию модели сложной системы как совокупности простых систем (в этом случае логистической системы как совокупности ее подсистем и звеньев - закупки, складов, транспортировки, запасов, производства, распределения и сбыта);

Составление формальных процедур для определения качественных характеристик системы;

Определение механизма взаимодействия компонентов управляющей системы с целью описания последней в терминах ее основных характеристик;

Определение данных, необходимых для исследования логистической системы и ее основных подсистем;

Начальное исследование управляющей системы, составление предварительного расписания работы ее компонентов.

Основное преимущество сетевого подхода заключается в том, что он может быть успешно применен к решению практически любых задач, когда можно точно построить сетевую модель.

Обобщенная характеристика математических моделей, классифицируемых по способу описания объекта, приведена в табл. 7.3. В таблице указаны наиболее подходящие области применения данных моделей с предварительно обозначенной точностью получаемых оценок. Данная информация полезна логистам на этапе построения моделей или выбора последних для решения возникшей проблемы.

По характеру отображаемых свойств объекта модели классифицируются на структурные и функциональные, которые в совокупности отражают взаимосвязь и взаимное влияние отдельных элементов на процессы, протекающие в объекте при его функционировании или изготовлении.

Структурные модели предназначены для отображения структурных свойств объекта состава, взаимосвязи и взаимного расположения, а также формы компонентов.

Функциональные модели предназначены в большей степени для отображения процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении, и, как правило, содержат алгоритмы, связывающие фазовые переменные, внутренние, внешние или выходные параметры.

Таблица 7.3

Характерные черты математических моделей

вид модели	Наиболее пригодна область использования модели	Относительная точность расчета,%
алгебраические	Общие операционные проблемы: анализ процесса затраты - прибыль и т.п.
Модель линейного программирования	Планирование производства, распределение рабочей силы, анализ размещения, смешивания ингредиентов в продуктах питания и др.
Сетевые (поточные)	Предварительно: исследовательские и конструкторские работы, разработка производственных проектов
Вероятностно-статистические:
Модели теории очередей	Оценка систем сервиса
Модели запасов	Управление активами фирмы, предприятия
Статистические	В различных сферах с достаточной долей неопределенности
Регрессионно-корреляционные	В сферах управления, производства, анализ спроса и др. |

По способу формализации объекта при сложности имеющихся ситуаций возникает необходимость в упрощенном их описании с помощью аналитических и алгоритмических моделей, должным образом

"Абстрагируют" избранные "существенные" свойства объектов и ситуаций. Компьютерная имитация реальных объектов - это ценный инструмент для анализа сложных систем сервиса, политики обслуживания и инвестиционного выбора.

Распределение объектов на иерархические уровни приводит к определенным уровней моделирования, иерархия которых определяется как сложностью объектов, так и возможностью средств управления. Поэтому, согласно принадлежности к иерархического уровня, математические модели делятся на микро-, макро- и метамодели. Отличие данных моделей заключается в том, что на более высоком уровне иерархии компоненты модели принимают вид довольно сложных совокупностей элементов предыдущего уровня. Этими же качествами определяется и разделение моделей по степени масштабности и сложности описания объекта.

Приведенная классификация моделей призвана помочь логистам в более оперативном и правильном принятии решений в целях осуществления миссии организации.

Представь себе самолет: крылья, фюзеляж, хвостовое оперение, все это вместе - настоящий огромный, необъятный, целый самолет. А можно сделать модель самолета, маленькую, но все как взаправду, те же крылья и т.д., но компактный. Так же и математическая модель. Есть текстовая задача, громоздкая, на нее можно так посмотреть, прочесть, но не совсем понять, и уж тем более не ясно как решать ее. А что если сделать из большой словесной задачи ее маленькую модель, математическую модель? Что значит математическую? Значит, используя правила и законы математической записи, переделать текст в логически верное представление при помощи цифр и арифметических знаков. Итак, математическая модель - это представление реальной ситуации с помощью математического языка.

Начнем с простого: Число больше числа на. Нам нужно записать это, не используя слов, а только язык математики. Если больше на, то получается, что если мы из вычтем, то останется та самая разность этих чисел равная. Т.е. или. Суть понял?

Теперь посложнее, сейчас будет текст, который ты должен попробовать представить в виде математической модели, пока не читай, как это сделаю я, попробуй сам! Есть четыре числа: , и. Произведение и больше произведения и в два раза.

Что получилось?

В виде математической модели выглядеть это будет так:

Т.е. произведение относится к как два к одному, но это можно еще упросить:

Ну ладно, на простых примерах ты понял суть, я так полагаю. Переходим к полноценным задачам, в которых эти математические модели еще и решать нужно! Вот задача.

Математическая модель на практике

Задача 1

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле, где — расстояние в метрах, — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на с? Ответ выразите в метрах.

О, ужас! Какие формулы, что за колодец, что происходит, что делать? Я прочел твои мысли? Расслабься, в задачах этого типа условия бывают и пострашнее, главное помнить, что тебя в этой задаче интересуют формулы и отношения между переменными, а что все это обозначает в большинстве случаев не очень важно. Что ты тут видишь полезного? Я лично вижу. Принцип решения этих задач следующий: берешь все известные величины и подставляешь. НО, задумываться иногда надо!

Последовав моему первому совету, и,подставив все известные в уравнение, получим:

Это я подставил время секунды, и нашел высоту, которую пролетал камень до дождя. А теперь надо посчитать после дождя и найти разницу!

Теперь прислушайся ко второму совету и задумайся, в вопросе уточняется, «на сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на с». Сразу надо прикинуть, тааак, после дождя уровень воды повышается, значит, время падения камня до уровня воды меньше и тут витиеватая фраза «чтобы измеряемое время изменилось» приобретает конкретный смысл: время падения не увеличивается, а сокращается на указанные секунды. Это означает, что в случае броска после дождя, нам просто нужно из начального времени c вычесть с, и получим уравнение высоты, которую камень пролетит после дождя:

Ну и наконец, чтобы найти, на сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на с., нужно просто вычесть из первой высоты падения вторую!

Получим ответ: на метра.

Как видишь, ничего сложного нет, главное, особо не заморачивайся, откуда такое непонятное и порой сложное уравнение в условиях взялось и что все в нем означает, поверь на слово, большинство этих уравнений взяты из физики, а там дебри похлеще, чем в алгебре. Мне иногда кажется, что эти задачи придуманы, чтоб запугать ученика на ЕГЭ обилием сложных формул и терминов, а в большинстве случаев не требуют почти никаких знаний. Просто внимательно читай условие и подставляй известные величины в формулу!

Вот еще задача, уже не по физике, а из мира экономической теории, хотя знаний наук кроме математики тут опять не требуется.

Задача 2

Зависимость объёма спроса (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены (тыс. руб.) задаётся формулой

Выручка предприятия за месяц (в тыс. руб.) вычисляется по формуле. Определите наибольшую цену, при которой месячная выручка составит не менее тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Угадай, что сейчас сделаю? Ага, начну подставлять то, что нам известно, но, опять же, немного подумать все же придется. Пойдем с конца, нам нужно найти при котором. Так, есть, равно какому-то, находим, чему еще равно это, а равно оно, так и запишем. Как ты видишь, я особо не заморачиваюсь о смысле всех этих величин, просто смотрю из условий, что чему равно, так тебе поступать и нужно. Вернемся к задаче, у тебя уже есть, но как ты помнишь из одного уравнения с двумя переменными ни одну из них не найти, что же делать? Ага, у нас еще в условии осталась неиспользованная частичка. Вот, уже два уравнения и две переменных, значит, теперь обе переменные можно найти - отлично!

Такую систему решить сможешь?

Решаем подстановкой, у нас уже выражена, значит, подставим ее в первое уравнение и упростим.

Получается вот такое квадратное уравнение: , решаем, корни вот такие, . В задании требуется найти наибольшую цену, при которой будут соблюдаться все те условия, которые мы учли, когда систему составляли. О, оказывается это было ценой. Прикольно, значит, мы нашли цены: и. Наибольшую цену, говорите? Окей, наибольшая из них, очевидно, ее в ответ и пишем. Ну как, сложно? Думаю, нет, и вникать не надо особо!

А вот тебе и устрашающая физика, а точнее еще одна задачка:

Задача 3

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому, где — мощность излучения звезды, — постоянная, — площадь поверхности звезды, а — температура. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна, а мощность её излучения равна Вт. Найдите температуру этой звезды в градусах Кельвина.

Откуда и понятно? Да, в условии написано, что чему равно. Раньше я рекомендовал все неизвестные сразу подставлять, но здесь лучше сначала выразить неизвестное искомое. Смотри как все просто: есть формула и в ней известны, и (это греческая буква «сигма». Вообще, физики любят греческие буквы, привыкай). А неизвестна температура. Давай выразим ее в виде формулы. Как это делать, надеюсь, знаешь? Такие задания на ГИА в 9 классе обычно дают:

Теперь осталось подставить числа вместо букв в правой части и упростить:

Вот и ответ: градусов Кельвина! А какая страшная была задача, а!

Продолжаем мучить задачки по физике.

Задача 4

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону, где — высота в метрах, — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трех метров?

То были всё уравнения, а вот здесь надо определить, сколько мяч находился на высоте не менее трех метров, это значит на высоте. Что мы составлять будем? Неравенство, именно! У нас есть функция, которая описывает как летит мяч, где - это как раз та самая высота в метрах, нам нужна высота. Значит

А теперь просто решаешь неравенство, главное, не забудь поменять знак неравенства с больше либо равно на меньше, либо равно, когда будешь умножать на обе части неравенства, чтоб перед от минуса избавиться.

Вот такие корни, строим интервалы для неравенства:

Нас интересует промежуток, где знак минус, поскольку неравенство принимает там отрицательные значения, это от до оба включительно. А теперь включаем мозг и тщательно думаем: для неравенства мы применяли уравнение, описывающее полет мяча, он так или иначе летит по параболе, т.е. он взлетает, достигает пика и падает, как понять, сколько времени он будет находиться на высоте не менее метров? Мы нашли 2 переломные точки, т.е. момент, когда он взмывает выше метров и момент, когда он, падая, достигает этой же отметки, эти две точки выражены у нас в виде времени, т.е. мы знаем на какой секунде полета он вошел в интересующую нас зону (выше метров) и в какую вышел из нее (упал ниже отметки в метра). Сколько секунд он находился в этой зоне? Логично, что мы берем время выхода из зоны и вычитаем из него время вхождения в эту зону. Соответственно: - столько он находился в зоне выше метров, это и есть ответ.

Так уж тебе повезло, что больше всего примеров по этой теме можно взять из разряда задачек по физике, так что лови еще одну, она заключительная, так что поднапрягись, осталось совсем чуть-чуть!

Задача 5

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы:

Где — время в минутах, . Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Действуем по отлаженной схеме, все, что дано, сперва выписываем:

Теперь берем формулу и приравниваем ее к значению температуры, до которой максимально можно нагреть прибор пока он не сгорит, то есть:

Теперь подставляем вместо букв числа там, где они известны:

Как видишь, температура при работе прибора описывается квадратным уравнением, а значит, распределяется по параболе, т.е. прибор нагревается до какой-то температуры, а потом остывает. Мы получили ответы и, следовательно, при и при минутах нагревания температура равна критической, но между и минутами - она еще выше предельной!

А значит, отключить прибор нужно через минуты.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Чаще всего математические модели используются в физике: тебе ведь наверняка приходилось запоминать десятки физических формул. А формула - это и есть математическое представление ситуации.

В ОГЭ и ЕГЭ есть задачи как раз на эту тему. В ЕГЭ (профильном) это задача номер 11 (бывшая B12). В ОГЭ - задача номер 20.

Схема решения очевидна:

1) Из текста условия необходимо «вычленить» полезную информацию - то, что в задачах по физике мы пишем под словом «Дано». Этой полезной информацией являются:

• Формула
• Известные физические величины.

То есть каждой букве из формулы нужно поставить в соответствие определенное число.

2) Берешь все известные величины и подставляешь в формулу. Неизвестная величина так и остается в виде буквы. Теперь нужно только решить уравнение (обычно, довольно простое), и ответ готов.

вектор выходных переменных, Y= t ,

Z - вектор внешних воздействий, Z= t ,

t - координата времени.

Построение математической модели заключается в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат.

Обычно их оказывается настолько много, что ввести в модель всю их совокупность не удается. При построении математической модели перед исследованием возникает задача выявить и исключить из рассмотрения факторы, несущественно влияющие на конечный результат (математическая модель обычно включает значительно меньшее число факторов, чем в реальной действительности). На основе данных эксперимента выдвигаются гипотезы о связи между величинами, выражающими конечный результат, и факторами, введенными в математическую модель . Такая связь зачастую выражается системами дифференциальных уравнений в частных производных (например, в задачах механики твердого тела, жидкости и газа, теории фильтрации, теплопроводности, теории электростатического и электродинамического полей).

Конечной целью этого этапа является формулирование математической задачи, решение которой с необходимой точностью выражает результаты, интересующие специалиста.

Форма и принципы представления математической модели зависит от многих факторов.

По принципам построения математические модели разделяют на:

1. аналитические;
2. имитационные.

В аналитических моделях процессы функционирования реальных объектов, процессов или систем записываются в виде явных функциональных зависимостей .

Аналитическая модель разделяется на типы в зависимости от математической проблемы:

1. уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные),
2. аппроксимационные задачи ( интерполяция , экстраполяция, численное интегрирование и дифференцирование ),
3. задачи оптимизации,
4. стохастические проблемы.

Однако по мере усложнения объекта моделирования построение аналитической модели превращается в трудноразрешимую проблему. Тогда исследователь вынужден использовать имитационное моделирование .

В имитационном моделировании функционирование объектов, процессов или систем описывается набором алгоритмов. Алгоритмы имитируют реальные элементарные явления, составляющие процесс или систему с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Имитационное моделирование позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса или системы в определенные моменты времени, однако прогнозирование поведения объектов, процессов или систем здесь затруднительно. Можно сказать, что имитационные модели - это проводимые на ЭВМ вычислительные эксперименты с математическими моделями , имитирующими поведение реальных объектов, процессов или систем.

В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем математические модели могут быть:

1. детерминированные,
2. стохастические.

В детерминированных моделях предполагается отсутствие всяких случайных воздействий, элементы модели (переменные, математические связи) достаточно точно установленные, поведение системы можно точно определить. При построении детерминированных моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, интегральные уравнения, матричная алгебра .

Стохастическая модель учитывает случайный характер процессов в исследуемых объектах и системах, который описывается методами теории вероятности и математической статистики.

По виду входной информации модели разделяются на:

1. непрерывные,
2. дискретные.

Если информация и параметры являются непрерывными, а математические связи устойчивы, то модель - непрерывная. И наоборот, если информация и параметры - дискретны, а связи неустойчивы, то и математическая модель - дискретная.

По поведению моделей во времени они разделяются на:

1. статические,
2. динамические.

Статические модели описывают поведение объекта, процесса или системы в какой-либо момент времени. Динамические модели отражают поведение объекта, процесса или системы во времени.

По степени соответствия между