Магнитные силовые линии короткого соленоида. Магнитное поле бесконечно длинного соленоида
Соленоидом называется проводник, свитый спиралью, по которому пропущен электрический ток (рисунок 1, а ).
Если мысленно разрезать витки соленоида поперек, обозначить направление тока в них, как было указано выше, и определить направление магнитных индукционных линий по "правилу буравчика", то магнитное поле всего соленоида будет иметь такой вид, как показано на рисунке 1, б .
Рисунок 1. Соленоид (а ) и его магнитное поле (б )
Рисунок 2. Компьютерная модель соленоида
На оси бесконечно длинного соленоида, на каждой единице длины которого намотано n 0 витков, напряженность магнитного поля внутри соленоида определяется формулой:
H = I × n 0 .
В том месте, где магнитные линии входят в соленоид, образуется южный полюс, где они выходят - северный полюс.
Для определения полюсов соленоида пользуются "правилом буравчика", применяя его следующим образом: если расположить буравчик вдоль оси соленоида и вращать его по направлению тока в витках катушки соленоида, то поступательное движение буравчика покажет направление магнитного поля (рисунок 3).
Видео про соленоид:
Электромагнит
Соленоид, внутри которого находится стальной (железный) сердечник, называется электромагнитом (рисунок 4 и 5). Магнитное поле у электромагнита сильнее, чем у соленоида, так как кусок стали, вложенный в соленоид, намагничивается и результирующее магнитное поле усиливается. Полюсы у электромагнита можно определить, так же как и у соленоида, по "правилу буравчика".
Рисунок 5. Катушка электромагнита
Электромагниты широко применяются в технике. Они служат для создания магнитного поля в электрических генераторах и двигателях, в электроизмерительных приборах, электрических аппаратах и тому подобном.
В установках большой мощности для отключения поврежденного участка цепи вместо плавких предохранителей применяются автоматические, масляные и воздушные выключатели. Для приведения в действие отключающих катушек автоматических выключателей применяются различные реле. Реле называются приборы или автоматы, реагирующие на изменение тока, напряжения, мощности, частоты и прочих параметров.
Из большого числа реле, различных по своему назначению, принципу действия и конструкции, кратко рассмотрим устройство электромагнитных реле. На рисунке 6 представлены конструкции этих реле. Работа реле основана на взаимодействии магнитного поля, создаваемого неподвижной катушкой, по которой проходит ток, и стального подвижного якоря электромагнита. При изменении условий работы в цепи главного тока катушка реле возбуждается, магнитный поток сердечника подтягивает (поворачивает или втягивает) якорь, который замыкает контакты цепи, отключающей катушки привода масляных и воздушных выключателей или вспомогательных реле.
Рисунок 6. Электромагнитное реле
Реле нашли себе применение также в автоматике и телемеханике.
Магнитный поток соленоида (электромагнита) увеличивается с увеличением числа витков и тока в нем. Намагничивающая сила зависит от произведения тока на число витков (числа ампер-витков).
Если, например, взять соленоид, по обмотке которого проходит ток 5 А и число витков которого равно 150, то число ампер-витков будет 5 × 150 = 750. Тот же магнитный поток получится если взять 1500 витков и пропустить по ним ток 0,5 А, так как 0,5 × 1500 = 750 ампер-витков.
Увеличить магнитный поток соленоида можно следующими путями: 1) вложить в соленоид стальной сердечник, превратив его в электромагнит; 2) увеличить сечение стального сердечника электромагнита (так как при данных токе, напряженности магнитного поля, и стало быть, магнитной индукции увеличение сечения ведет к росту магнитного потока); 3) уменьшить воздушный зазор сердечника электромагнита (так как при уменьшении пути магнитных линий по воздуху уменьшается магнитное сопротивление).
Видео про электромагнит:
Найдем индукцию магнитного поля внутри соленоида – катушки, диаметр которой значительно больше ее длины l . Будем считать поле внутри катушки однородным, а вдали от катушки – пренебрежимо малым. Выберем контур обхода L в видепрямоугольника 1-2-3-4 (см. рис.). Найдем сначала циркуляцию вектора В. Запишем интеграл циркуляции в выражение . Разобьем интеграл по контуру L на четыре интеграла: 1-2, 2-3, 3-4, 4-1.
Контур 12341 охватывает N витков катушки в каждом из которых ток I . Таким образом, из теоремы следует, что B×l = m o NI . Отсюда найдем В .
Тема 9. Вопрос 8.
Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток)
Представим себе некоторую замкнутую поверхность в магнитном поле. Линии магнитной индукции всегда замкнуты, они не имеют начала и конца, Поэтому количество входящих в поверхность линий будет равно количеству выходящих из нее линий. Магнитный поток пропорционален количеству линий индукции, следовательно, поток будет равен нулю. Равенство нулю магнитного потока через любую замкнутую поверхность свидетельствует о том, что магнитное поле не имеет источников этого поля (магнитных зарядов не существует). Таким образом, магнитное поле является вихревым , т.е. не имеющим источников его образования.
Тема 10. Вопрос 1.
Тема 10. Вопрос 2.
Магнитные силы.
Используя выражение для силы Ампера, найдем силу взаимодействия двух бесконечно длинных прямых проводников с токами I 1 и I 2 .
Мы рассматривали действие проводника с током I 1 на проводник с током I 2 . В соответствии с III законом Ньютона второй проводник действует на первый с такой же силой.
Тема 10. Вопрос 3.
Получение выражения для вращающего момента, действующего на контур с током в магнитном поле.
Учитывая векторный характер этих величин, можно записать общее выражение:
Тема 10. Вопрос 4.
Контур с током в магнитном поле.
Однородное поле.
Таким образом, во внешнемоднородном магнитном поле под действием магнитных сил:
1)свободно ориентированный контур с током будет поворачиваться до тех пор, пока плоскость контура не окажется перпендикулярной линиям индукции, т.е. пока магнитный момент не станет параллельным линиям индукции и
2)на контур будут действовать растягивающие силы.
Неоднородное поле.
В неоднородном магнитном поле кроме указанных выше сил, которые поворачивают и растягивают контур, появляется составляющая сил, которая стремится переместить контур. Если контур оказался ориентированным своим магнитным моментом по полю (как на рисунке), то составляющая силы F 1 будет растягивать контур, а составляющая F 2 будет втягивать контур в область более сильного поля. Если контур окажется в поле таким образом, что его магнитный момент будет направлен против поля, это положение контура будет неустойчивым. Контур развернется по полю, и будет втягиваться в область более сильного поля.
Приведем выражение для силы, действующей на контур с током в неоднородном магнитном поле, индукция которого изменяется только по одной координате х .
Тема 10. Вопрос 5.
Приборы и принадлежности: лабораторная установка с соленоидом, источник питания, милливольтметр, амперметр.
Краткая теория
Соленоидом называется цилиндрическая катушка, содержащая большое, число витков провода, по которому идет ток. Если шаг винтовой линии проводника, образующего катушку, мал, то каждый виток с током можно рассматривать как отдельный круговой ток, а соленоид - как систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса, имеющих общую ось.
Магнитное поле внутри соленоида можно представить как сумму магнитных полей, создаваемых каждым витком. Вектор индукции магнитного поля внутри соленоида перпендикулярен плоскости витков, т.е. направлен по оси соленоида и образует с направлением кольцевых токов витков правовинтовую систему. Примерная картина силовых линий магнитного поля соленоида показана на рис. 1. Силовые линии магнитного поля замкнуты.
На рис, 2 показано сечение соленоида длиной L и с числом витков N и радиусом поперечного сечения R. Кружки с точками обозначают сечения витков катушки, по которым идет ток I , направленный от чертежа на нас, а кружки с крестиками - сечения витков, в которых ток направлен за чертеж. Число витков на единицу длины соленоида обозначим .
Индукция магнитного поля в точке А, расположенной на оси соленоида, определяется путем интегрирования магнитных полей, создаваемых каждым витком, и равна
, (1)
где и - углы, образуемые с осью соленоида радиус-векторами и , проведенными из точки А к крайним виткам соленоида, -магнитная проницаемость среды, магнитная постоянная.
Таким образом, магнитная индукция В прямо пропорциональна силе тока, магнитной проницаемости среды, заполняющей соленоид, и числу витков на единицу длины. Магнитная индукция также зависит от положения точки А относительно концов соленоида. Рассмотрим несколько частных случаев:
1. Пусть точка А находится в центре соленоида, тогда , и . Если соленоид достаточно длинный, то и (2)
2. Пусть точка A находится в центре крайнего витка, тогда , и . Если соленоид достаточно длинный, то , и (3)
Из формул (2) и (3) видно, что магнитная индукция соленоида на его краю вдвое меньше по сравнению с ее величиной в центре.
3. Если длина соленоида во много раз больше радиуса его витков
("бесконечно" длинный соленоид), то для всех точек, лежащих внутри
соленоида на его оси, можно положить . Тогда
поле можно считать в центральной части соленоида однородным и рассчитывать его по формуле
Однородность магнитного поля нарушается вблизи краев соленоида. В этом случае индукцию можно определять по формуле
где k - коэффициент, учитывающий неоднородность поля.
Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида в данной работе осуществляется с помощью специального зонда - маленькой катушки, укрепленной внутри штока с масштабной линейкой. Ось катушки совпадает с осью соленоида, катушка подключается к милливольтметру переменного тока, входное сопротивление которого много больше сопротивления катушки-зонда. Если через соленоид идет переменный ток стандартной частоты ( =50 Гц), то внутри соленоида и на его краях индукция переменного магнитного поля изменяется по закону (см. (5)):
Амплитуда магнитной индукции в этой формуле зависит от положения точки внутри соленоида. Если поместить в соленоид катушку-зонд, то в соответствии с законом электромагнитной индукции, в ней возникает ЭДС индукции:
, (6)
где N 1 - число витков в катушке, S - площадь поперечного сечения катушки, Ф - магнитный поток ( , т.к. ось катушки совпадает с осью соленоида и, следовательно, вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости поперечного сечения катушки.).
Так как величина индукции B изменяется по закону , , то из (6) получается формула для расчета ЭДС:
Из выражения (7) видно, что амплитуда ЭДС зависит от . Таким образом, измеряя амплитуду ЭДС, можно определить :
Коэффициент k учитывающий неоднородность магнитного поля соленоида на краях, можно о определить., по формуле. (5), зная и :
(9)
где - амплитуда переменного тока, идущего через соленоид.
Из формул (7) и (9) следует, что амплитуда ЭДС индукции прямо пропорциональна амплитуде переменного тока :
Включенные в цепь переменного тока амперметр и милливольтметр измеряют действующие значения тока и ЭДС , которые связаны с амплитудами и соотношениями:
Для действующих значений тока и ЭДС формула (10) имеет вид
(11)
Из формулы (11) следует, что отношение пропорционально коэффициенту K неоднородности индукции магнитного поля в точке соленоида, где проводятся измерения
(12)
где А - коэффициент пропорциональности.
В данной работе требуется выполнить два задания: 1) определить распределение индукции вдоль оси соленоида при некотором постоянном значении тока; 2) определить значение коэффициента к.
Техника безопасности:
1. Не подключают/ самостоятельно источник питания и милливольтметр к сети 220 В.
2. Не производить переключения цепей, находящихся под напряжением.
Не прикасаться к неизолированным частям цепей.
3. Не оставлять без присмотра включенную схему.
Порядок выполнения работы
Задание № 1. Исследование распределения индукции магнитного поля вдоль оси соленоида.
1. Собрать измерительную цепь по схеме, приведенной на рис. 3. Для этого в цепь соленоида включить источник питания и амперметр, а к выводам катушки - зонда - милливольтметр (для измерения ) В данной установке катушка-зонд имеет следующие параметры: =200 витков, S=2*10 -4 м 2 , частота переменного тока = 50 Гц, Число витков на единицу длины соленоида n = 2400 1/м
1- лабораторный стенд Z - шток «
2- катушка-зонд
3- соленоид
5- амперметр
6- источник питания с регулятором выходного напряжения (тока), 7- милливольтметр.
2. Установить шток с масштабной линейкой так, чтобы катушка-зонд оказалась примерно в середине соленоида.
3.Включить источник питания соленоида и установить ток соленоида (по амперметру), равный =25мА. Включить милливольтметр и после прогрева (5 мин) снять показания .
4.Перемещая шток с масштабной линейной, измерить при помощи
милливольтметра действующее значение ЭДС индукции через каждый
сантиметр положения линейки. По формуле (8) вычислить .
Результаты измерений и расчетов занести в таблицу 1 (учтите, что ).
Магнитное поле соленоида.
В уточнённой модели соленоида конечной длины учтём более реальный вид навивки тонкого провода на каркас соленоида. Основным токонесущим элементом конструкции будем считать винтовую линию. Рассмотрим соленоид с каркасом в форме цилиндрической поверхности, поперечное сечение которой является окружностью радиуса . Пусть продольная ось соленоида, как в предыдущем примере, совпадает с осью аппликат, координаты конечных сечений соленоида на оси аппликат имеют значения и , тонкий проводник намотан на каркас равномерно с шагом , то есть число витков на единицу длины соленоида составляет величину , по проводнику течёт ток .
Радиус-вектор точки наблюдения М по условию определен координатами:
Радиус-вектор расположения элемента контура с током опишем с помощью параметрического представления:
Легко видеть, что при возрастании величины параметра на величину радиус-вектор совершит полный оборот вокруг продольной оси соленоида и сместится на шаг навивки относительно исходного положения в пространстве. Будем считать, что электрический ток течет по проводнику в направлении, определяемом увеличением параметра . Проекции вектора на оси декартовой системы координат имеют вид:
(3)
В соответствии с дифференциальной формой закона Био-Савара-Лапласа (1) раздела 6.2 получаем проекции вектора магнитной индукции на оси декартовых координат для произвольной точки наблюдения:
(3)
, (4) . (5)
Как это ни удивительно, но уточнённая модель приводит к более простым зависимостям для проекций дифференциала вектора магнитной индукции: для расчёта величин проекций искомого вектора понадобится только однократное интегрирование по параметру . Пределы интегрирования определяются при этом условием, что тонкий проводник достиг крайнего сечения соленоида:
Выпишем квадратуры для проекций вектора магнитной индукции на оси декартовой системы координат для произвольной точки наблюдения:
, (7)
, (8)
. (9)
Численные значения проекций вектора магнитной индукции на оси декартовой системы координат легко вычисляются с помощью пакета символьных вычислений Maple, если заданы характеристики системы токов и координаты точки наблюдения. Ниже для определенности положим Проведем вычисления осевой составляющей индукции магнитного поля в сечении z=0 в зависимости от координаты x (радиальное направление!). Результаты расчета представлены на рис. 2. Здесь имеет смысл обратить внимание на небольшую неоднородность магнитного поля внутри соленоида (|x|<1) и наличие осевой составляющей магнитного поля вне соленоида (последнее характерно для соленоида конечных размеров).
В качестве второго примера вычислим распределение осевой составляющей магнитной индукции вдоль оси соленоида при сохранении параметров системы токов (рис. 3). Здесь можно отметить качественное совпадение результатов расчета с подобными результатами упрощенной модели соленоида (рис.2 предыдущего раздела).
На практике чаще всего параметр навивки - отношение шага навивки к радиусу поперечного сечения соленоида - не играет существенной роли, но в отдельных случаях подробный расчет может оказаться полезным.
6.2.6. Поверхностная модель земного магнетизма .
У.Гильберт 400 лет тому назад установил, что Земля является «большим магнитом»: поведение стрелки компаса на земной поверхности похоже на поведение намагниченной стрелки в окрестности экспериментального магнитного шара. Во времена У.Гильберта ещё не было ни теории электричества, ни теории магнитного поля. В современных условиях интересно попробовать смоделировать образование магнитного поля Земли, играющего такую важную роль как обеспечении радиационной безопасности жизни на Земле, так и в практической навигации.
Допустим, что по поверхности сферы радиуса течёт ток постоянной по величине погонной плотности в азимутальном направлении. Величина погонной плотности тока определяется выражением
Здесь - дифференциал сила тока, - элемент дуги на поверхности сферы, перпендикулярный направлению тока, - дифференциал угловой координаты сферической системы координат.
|
Элемент длины «контура», связанного с описанным дифференциалом силы тока определяется выражением
, (2)
координаты точки расположения элемента имеют вид
, (3)
а его проекции на координатные направления декартовой системы координат
Если координаты точки наблюдения М определены проекциями радиус-вектора {x,y,z}, то не представляет труда выписать последовательно выражения для разности радиус-векторов точки наблюдения и точки расположения элемента контура с током, для модуля этой разности, для векторного произведения и получить зависимости для дифференциалов проекций вектора магнитной индукции в точке наблюдения:
(5)
Для реализации практических вычислений в приведенные соотношения вместо «штрихованных» величин необходимо подставить их выражения с использованием координат сферической системы координат (4).
В соответствии с принципом суперпозиции необходимо просуммировать вклад всех элементов «контуров» с током в величину каждой из проекций вектора магнитной индукции в точке наблюдения. Если декартовы координаты точки наблюдения записать с помощью сферических координат, то проекции вектора магнитной индукции на оси декартовой системы координат в точке наблюдения описываются следующими квадратурами:
Здесь , и - угловые координаты точки наблюдения в сферической системе координат.
Располагая полученными соотношениями, можно вычислить направляющие косинусы вектора магнитной индукции относительно исходной декартовой системы координат
, (7)
и записать уравнения для расчёта координат силовой линии в дифференциальной форме:
( для фиксированной точки силовой линии).
Интересно проанализировать зависимости «горизонтальной» и «вертикальной» составляющих вектора магнитной индукции над поверхностью несущей ток сферы от «северной широты» точки наблюдения. Численные результаты при этом таковы. На экваторе () горизонтальная составляющая поля направлена по меридиану в сторону «южного полюса», вертикальная составляющая равна нулю. На широте 45 0 () имеют место и горизонтальная, и вертикальная составляющие магнитного поля, причем абсолютная величина горизонтальной составляющей меньше, чем аналогичная величина на экваторе, а направленность в сторону южного полюса сохранилась. На «северном полюсе» () горизонтальная составляющая магнитного поля обращается в нуль, а вертикальная достигает максимального значения. Полученный результат объясняет причину трудностей определения местоположения в окрестности «северного полюса» сферы: компас теряет способность указывать направление на полюс.
6.2.7. Объёмная модель земного магнетизма .
Рассмотрим более сложную модель распределения электрического тока в земном шаре. Теперь нам предстоит рассчитать магнитное поле, образованное электрическим током, текущим в объёме сферы в азимутальном направлении с известной объёмной плотностью тока.
Допустим, что по объёму сферического тела радиуса течёт ток с постоянной по величине объёмно плотностью в азимутальном направлении. Элемент сила тока с учётом его направления в пространстве при этом можно описать с помощью выражения
В этом выражении - элемент объёма, в котором течёт ток, - координаты этого элемента объёма в сферической системе координат. Допустим, что координаты точки наблюдения имеют вид: { }. В соответствующей декартовой системе координат имеем
Соленоид представляет собой провод, навитый равномерно в виде спирали на общий цилиндрический каркас (см. рис. 12.14). Произведение (IN) числа витков однослойной намотки соленоида на силу тока, обтекающего витки, называется числом ампер-витков.
Соленоиды предназначены для создания в небольшом объеме пространства достаточно сильного магнитного поля. При плотной намотке витков поле соленоида эквивалентно полю системы круговых параллельных токов с общей осью. Если диаметр d витков соленоида во много раз меньше его длины (d l), то соленоид считается бесконечно длинным (или тонким). Магнитное поле такого соленоида практически целиком сосредоточено внутри, причем вектор магнитной индукции внутри направлен вдоль оси соленоида и связан с направлением тока правилом правого винта.
Рис. 12.15
Рассмотрим воображаемый замкнутый контур внутри соленоида (рис. 12.15). Этот контур не охватывает токов, поэтому по теореме о циркуляции
Разобьем
этот круговой интеграл на четыре
интеграла (по сторонам контура) и учтем,
что на отрезках (1-2) и (3-4) вектор
перпендикулярен
,
поэтому скалярное произведение (,
)
здесь обращается в ноль. Индукция поля
во всех точках отрезка (2-3) одинакова и
равна 23 ,
а на отрезке (4-1) 41 ,
причем l 23 =
l 41
= l.
Таким образом, обойдя контур по часовой стрелке, получим
Так как l 0, то В 23 = В 41 = В внутри.
Поскольку контур внутри соленоида был выбран произвольно, то полученный результат справедлив для любых внутренних точек соленоида, то есть поле внутри соленоида однородное:
внутри = const.
Чтобы найти величину индукции этого поля, рассмотрим контур L 2 (а –b –c –d –а ), охватывающий N витков с током (рис. 12.15). Согласно теореме о циркуляции (и на основании предыдущих рассуждений), получим соотношение
Поле снаружи бесконечно длинного соленоида очень слабое ( снаружи =0), им можно пренебречь, следовательно,
(12.35)
где n=N/l - число витков, приходящихся на единицу
длины соленоида.
Таким образом, индукция магнитного поля внутри бесконечно длинного соленоида одинакова по величине и направлению и пропорциональна числу ампер-витков, приходящихся на единицу длины соленоида.
Симметрично расположенные витки вносят одинаковый вклад в магнитную индукцию на оси соленоида, поэтому у конца полубесконечного соленоида на его оси магнитная индукция равна половине того значения, которое дает формула (12.35), т.е.
(12.36)
Практически, если (l d ), то формула (12.35) справедлива для точек в средней части соленоида, а формула (12.36) – для точек на оси вблизи его концов.
Применяя закон Био-Савара-Лапласа, можно найти магнитную индукцию поля соленоида конечной длины (рис. 12.16) в произвольной точке А на его оси:
(12.37)
где
- углы между осью соленоида и радиус-
вектором, проведенным из рассматриваемой
точки к концам соленоида.
Поле
такого соленоида неоднородное, величина
индукции зависит от положения точки А
и длины соленоида. Для бесконечно
длинного соленоида
,
,
и формула (12.37) переходит в формулу
(12.35).