Электрическое поле внутри бесконечного соленоида. Магнитное поле соленоида

Соленоид представляет собой провод, навитый на круглый цилиндрический каркас. Линии В поля соленоида выглядят примерно так, как показано на рис. 50.1. Внутри соленоида направление этих линий образует с направлением тока в витках правовинтовую систему.

У реального соленоида имеется составляющая тока вдоль оси. Кроме того, линейная плотность тока (равная отношению силы тока к элементу длины соленоида ) изменяется периодически при перемещении вдоль соленоида. Среднее значение этой плотности равно

где - число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины, I - сила тока в соленоиде.

В учении об электромагнетизме большую роль играет воображаемый бесконечно длинный соленоид, у которого отсутствует осевая составляющая тока и, кроме того, линейная плотность тока постоянна по всей длине. Причина этого заключается в том, что поле такого соленоида однородно и ограничено объемом соленоида (аналогично электрическое поле бесконечного плоского конденсатора однородно и ограничено объемом конденсатора).

В соответствии со сказанным представим соленоид в виде бесконечного тонкостенного цилиндра, обтекаемого током постоянной линейной плотности

Разобьем цилиндр на одинаковые круговые токи - «витки».

Из рис. 50.2 видно, что каждая пара витков, расположенных симметрично относительно некоторой плоскости, перпендикулярной к оси соленоида, создает в любой точке этой плоскости магнитную индукцию, параллельную оси. Следовательно, и результирующее поле в любой точке внутри и вне бесконечного соленоида может иметь лишь направление, параллельное оси.

Из рис. 50.1 вытекает, что направления поля внутри и вне конечного соленоида противоположны. При увеличении длины соленоида направления полей не изменяются и в пределе при остаются противоположными. Для бесконечного соленоида, как и для конечного, направление поля внутри соленоида образует с направлением обтекания цилиндра током правовинтовую систему.

Из параллельности вектора В оси вытекает, что поле как внутри, так и вне бесконечного соленоида должно быть однородным. Чтобы доказать это, возьмем внутри соленоида воображаемый прямоугольный контур 1-2-3-4 (рис. 50.3; участок идет по оси соленоида). Обойдя контур по часовой стрелке, получим для циркуляции вектора В значение Контур не охватывает токов, поэтому циркуляция должна быть равна нулю (см. (49.7)).

Отсюда следует, что Располагая участок контура 2-3 на любом расстоянии от оси, мы каждый раз будем получать, что магнитная индукция на этом расстоянии равна индукции на оси соленоида. Таким образом, однородность поля внутри соленоида доказана.

Теперь обратимся к контуру 1-2-3-4. Мы изобразили векторы штриховой линией, поскольку, как выяснится в дальнейшем, поле вне бесконечного соленоида равно нулю. Пока же мы знаем лишь, что возможное направление поля вне соленоида противоположно направлению поля внутри соленоида. Контур не охватывает токов; поэтому циркуляция вектора В по этому контуру, равная а, должна быть равна нулю.

Отсюда вытекает, что . Расстояния от оси соленоида до участков 1-4 и 2-3 были взяты произвольно. Следовательно, значение В на любом расстоянии от оси будет вне соленоида одно и то же. Таким образом, оказывается доказанной и однородность поля вне соленоида.

Циркуляция по контуру, изображенному на рис. 50.4, равна (для обхода по часовой стрелке). Этот контур охватывает положительный ток величины . В соответствии с (49.7) должно выполняться равенство

или после сокращения на а и замены на (см. )

Из этого равенства следует, что поле как внутри, так и снаружи бесконечного соленоида является конечным.

Возьмем плоскость, перпендикулярную к оси соленоида (рис. 50.5). Вследствие замкнутости линий В магнитные потоки, через внутреннюю часть 5 этой плоскости и через внешнюю часть S должны быть одинаковыми.

Поскольку поля однородны и перпендикулярны к плоскости, каждый из потоков равен произведению соответствующего значения магнитной индукции и площади, пронизываемой потоком. Таким образом, получается соотношение

Левая часть этого равенства конечна, множитель S в правой части бесконечно большой. Отсюда следует, что

Итак, мы доказали, что вне бесконечно длинного соленоида магнитная индукция равна нулю. Внутри соленоида поле однородно.

Положив в (50.3) , придем к формуле для магнитной индукции внутри соленоида:

Произведение называется числом ампер-витков на метр. При витков на метр и силе тока в 1 А магнитная индукция внутри соленоида составляет .

В магнитную индукцию на оси соленоида симметрично расположенные витки вносят одинаковый вклад (см. формулу (47.4)). Поэтому у конца полубесконечного соленоида на его оси магнитная индукция равна половине значения (50.4): - число витков на единицу его длины). В этом случае

Контур, проходящий вне тороида, токов не охватывает, поэтому для него Таким образом, вне тороида магнитная индукция равна нулю.

Для тороида, радиус которого R значительно превосходит радиус витка, отношение для всех точек внутри тороида мало отличается от единицы и вместо (50.6) получается формула, совпадающая с формулой (50.4) для бесконечно длинного соленоида. В этом случае поле можно считать однородным в каждом из сечений тороида. В разных сечениях поле имеет различное направление, поэтому говорить об однородности поля в пределах его тороида можно только условно, имея в виду одинаковость модуля В.

У реального тороида имеется составляющая тока вдоль оси. Эта составляющая создает в дополнение к полю (50.6) поле, аналогичное полю кругового тока.

Магнитное поле соленоида представляет собой суперпозицию отдельных полей, которые создаются каждым витком в отдельности. Через все витки протекает один и тот же ток. Оси всех витков лежат на одной лини. Соленоид представляет собой катушку индуктивности, имеющую цилиндрическую форму. Эта катушка намотана из проводящей проволоки. При этом витки уложены плотно друг к другу и имеют одном направление. При этом считается, что длинна катушки значительно превышает диаметр витков.

Давайте рассмотрим магнитную индукцию, создаваемую каждым витком. Видно, что индукция внутри каждого витка направлена в одну и ту же сторону. Если смотреть в центр витка, то индукция от его краев будет складываться. При этом индукция магнитного поля между двух соседних витков направлена встречно. Так как она создана одним и тем же током то она компенсируется.

Рисунок 1 — Поле создаваемое отдельными витками соленоида

Если витки соленоида намотаны достаточно плотно, то между всеми витками встречное поле будет компенсировано, а внутри витков произойдет сложение отдельных поле в одно общее. Линии этого поля будут проходить внутри соленоида, и охватывать его снаружи.

Если исследовать магнитное поле внутри соленоида любыми способами, например, с помощью железных опилок то можно сделать вывод, что оно однородно. Лини магнитного поля в этой области представляют собой параллельные прямые. Мало того что они параллельны сами себе но они еще параллельны оси соленоида. Выходя за приделы соленоида, они искривляются и замыкаются снаружи катушки.

Рисунок 2 — Поле создаваемое соленоидом

Из рисунка видно, что поле создаваемое соленоидом похоже на поле, которое создает постоянный стержневой магнит. На одном конце силовые линии выходят из соленоида и этот конец аналогичен северному полюсу постоянного магнита. А в другой они входят, и этот конец соответствует южному полюсу. Отличие же заключается в том, что поле присутствует и внутри соленоида. И если провести опыт с железными опилками, то они втянутся в пространство между витками.

Но если внутрь соленоида вставить деревянный сердечник либо сердечник из любого другого немагнитного материала, то при проведении опыта с железной стружкой картина поля постоянного магнита и соленоида будет идентична. Так как деревянный сердечник не исказит силовые лини, но при этом не даст проникнуть опилкам внутрь катушки.

Рисунок 3 — Картина поля постоянного стержневого магнита

Для определения полюсов соленоида можно использовать несколько методов. Например, самый простой, использовать магнитную стрелку. Она притянется к противоположному полюсу магнита. Если же известно направление тока в витке полюсы можно определить при помощи правила правого винта. Если вращать головку правого винта в направлении тока, то поступательное движение укажет направление поля в соленоиде. А зная, что поле направлено от северного полюса к южному и можно определить, где какой полюс находится.

Соленоидом называют катушку цилиндрической формы из проволоки, витки которой намотаны вплотную в одном направлении, а длина катушки значительно больше радиуса витка.

Магнитное поле соленоида можно представить как результат сложения полей, создаваемых несколькими круговыми токами, имеющими общую ось. На рисунке 3 видно, что внутри соленоида линии магнитной индукции каждого отдельного витка имеют одинаковое направление, тогда как между соседними витками они имеют противоположное направление.

Поэтому при достаточно плотной намотке соленоида противоположно направленные участки линий магнитной индукции соседних витков взаимно уничтожаются, а одинаково направленные участки сольются в общую линию магнитной индукции, проходящую внутри соленоида и охватывающую его снаружи. Изучение этого поля с помощью опилок показало, что внутри соленоида поле является однородным, магнитные линии представляют собой прямые линии, параллельные оси соленоида, которые расходятся на его концах и замыкаются вне соленоида (рис. 4).

Нетрудно заметить сходство между магнитным полем соленоида (вне его) и магнитным полем постоянного стержневого магнита (рис. 5). Конец соленоида, из которого магнитные линии выходят, аналогичен северному полюсу магнита N , другой же конец соленоида, в который магнитные линии входят, аналогичен южному полюсу магнита S .

Полюсы соленоида с током на опыте легко определить с помощью магнитной стрелки. Зная же направление тока в витке, эти полюсы можно определить с помощью правила правого винта: вращаем головку правого винта по току в витке, тогда поступательное движение острия винта укажет направление магнитного поля соленоида, а следовательно, и его северного полюса. Модуль магнитной индукции внутри однослойного соленоида вычисляется по формуле

B = μμ 0 NI l = μμ 0 nl,

где Ν — число витков в соленоиде, I — длина соленоида, n — число витков, приходящееся на единицу длины соленоида.

Намагничивание магнетика. Вектор намагниченности.

Если по проводнику течет ток, то вокруг проводника создаётся МП. Мы пока рассматривали провода, по которым текли токи, находящиеся в вакууме. Если провода, несущие ток, находятся в некоторой среде, то м.п. изменяется. Это объясняется тем, что под действием м.п. всякое вещество способно приобретать магнитный момент, или намагничиваться (вещество становится магнетиком ). Вещества, намагничивающиеся во внешнем м.п. против направления поля называются диамагнетиками . Вещества, слабо намагничивающиеся во внешнем м.п. по направлению поля называются парамагнетиками Намагниченное в-во создаёт м.п. - , это м.п. накладывается на м.п., обусловленное токами - . Тогда результирующее поле: . (54.1) Истинное (микроскопическое) поле в магнетике сильно изменяется в пределах межмолекулярных расстояний. - усреднённое макроскопическое поле. Для объяснения намагничения тел Ампер предположил, что в молекулах вещества циркулируют круговые микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах. Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создаёт в окружающем пространстве м.п. Если внешнее поле отсутствует, то молекулярные токи ориентированы беспорядочным образом, и обусловленное ими результирующее поле равно 0. Намагниченностью называют векторную величину, равную магнитному моменту единицы объёма магнетика: , (54.3) где - физически бесконечно малый объём, взятый в окрестности рассматриваемой точки; - магнитный момент отдельной молекулы. Суммирование производится по всем молекулам, заключённым в объёме (вспомним где, - поляризованность диэлектрика, - дипольный элемент ). Намагниченность можно представить так: Токи намагничивания I" . Намагничивание вещества связано с преимущественной ориентацией магнитных моментов отдельных молекул в одном направлении. Элементарные круговые токи, связанные с каждой молекулой, называются молекулярными. Молекулярные токи оказываются ориентированными, т.е. возникают токи намагничивания - . Токи, текущие по проводам, вследствие движения в веществе носителей тока называют токами проводимости - . Для электрона движущегося по круговой орбите по часовой стрелке; ток направлен против часовой стрелки и по правилу правого винта направлен вертикально вверх. Циркуляция вектора намагниченности по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов намагничивания, охватываемых контуром Г. Дифференциальная форма записи теоремы о циркуляции вектора . Напряжённость магнитного поля (стандартное обозначение Н ) — векторная физическая величина, равная разности вектора магнитной индукции B и вектора намагниченности M . В СИ: где — магнитная постоянная . В простейшем случае изотропной (по магнитным свойствам) среды и в приближении достаточно низких частот изменения поля B и H просто пропорциональны друг другу, отличаясь просто числовым множителем (зависящим от среды) B = μ H в системе СГС или B = μ 0 μ H в системе СИ (см. Магнитная проницаемость , также см. Магнитная восприимчивость ). В системе СГС напряжённость магнитного поля измеряется в эрстедах (Э), в системе СИ — в амперах на метр (А/м). В технике эрстед постепенно вытесняется единицей СИ — ампером на метр. 1 Э = 1000/(4π) А/м ≈ 79,5775 А/м. 1 А/м = 4π/1000 Э ≈ 0,01256637 Э. Физический смысл В вакууме (или в отсутствие среды, способной к магнитной поляризации , а также в случаях, когда последняя пренебрежима) напряжённость магнитного поля совпадает с вектором магнитной индукции с точностью до коэффициента, равного 1 в СГС и μ 0 в СИ. В магнетиках (магнитных средах) напряжённость магнитного поля имеет физический смысл «внешнего» поля, то есть совпадает (быть может, в зависимости от принятых единиц измерения, с точностью до постоянного коэффициента, как например в системе СИ , что общего смысла не меняет) с таким вектором магнитной индукции, какой «был бы, если магнетика не было». Например, если поле создаётся катушкой с током, в которую вставлен железный сердечник, то напряжённость магнитного поля H внутри сердечника совпадает (в СГС точно, а в СИ — с точностью до постоянного размерного коэффициента) с вектором B 0 , который был бы создан этой катушкой при отсутствии сердечника и который в принципе может быть рассчитан исходя из геометрии катушки и тока в ней, без всякой дополнительной информации о материале сердечника и его магнитных свойствах. При этом надо иметь в виду, что более фундаментальной характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции B . Именно он определяет силу действия магнитного поля на движущиеся заряженные частицы и токи, а также может быть непосредственно измерен, в то время как напряжённость магнитного поля H можно рассматривать скорее как вспомогательную величину (хотя рассчитать её, по крайней мере, в статическом случае, проще, в чём и состоит её ценность: ведь H создают так называемые свободные токи , которые сравнительно легко непосредственно измерить, а трудно измеримые связанные токи — то есть токи молекулярные и т. п. — учитывать не надо). Правда, в обычно используемое выражение для энергии магнитного поля (в среде) B и H входят почти равноправно, но надо иметь в виду, что в эту энергию включена и энергия, затраченная на поляризацию среды, а не только энергия собственно поля. Энергия магнитного поля как такового выражается только через фундаментальное B . Тем не менее видно, что величина H феноменологически и тут весьма удобна. Виды магнетиков Диамагнетики имеют магнитную проницаемость чуть меньше 1. Отличаются тем, что выталкиваются из области магнитного поля. Парамагнетики имеют магнитную проницаемость чуть более 1. Подавляющее количество материалов являются диа- и пара- магнетиками. Ферромагнетики обладают исключительно большой магнитной проницаемостью, доходящей до миллиона. По мере усиления поля проявляется явление гистерезиса , когда при увеличении напряженности и при последующем уменьшении напряженности значения В(Н) не совпадают друг с другом. В литературе различают несколько определений магнитной проницаемости. Начальная магнитная проницаемость m н - значение магнитной проницаемости при малой напряженности поля. Максимальная магнитная проницаемость m max - максимальное значение магнитной проницаемости, которое достигается обычно в средних магнитных полях. Из других основных терминов, характеризующих магнитные материалы, отметим следующие. Намагниченность насыщения - максимальная намагниченность, которая достигается в сильных полях, когда все магнитные моменты доменов ориентированы вдоль магнитного поля. Петля гистерезиса - зависимость индукции от напряженности магнитного поля при изменении поля по циклу: подъем до определенного значения - уменьшение, переход через нуль, после достижения того же значения с обратным знаком - рост и т.п. Максимальная петля гистерезиса - достигающая максимальной намагниченности насыщения. Остаточная индукция B ост - индукция магнитного поля на обратном ходе петли гистерезиса при нулевой напряженности магнитного поля. Коэрцитивная сила Н с - напряженность поля на обратном ходе петли гистерезиса при которой достигается нулевая индукция. Магнитные моменты атомов Магнитный момент Элементарные частицы обладают внутренним квантовомеханическим свойством известным как спин. Оно аналогично угловому моменту объекта вращающегося вокруг собственного центра масс, хотя строго говоря, эти частицы являются точечными и нельзя говорить об их вращении. Спин измеряют в единицах приведённой планковской постоянной (), тогда электроны, протоны и нейтроны имеют спин равный ½ . В атоме электроны обращаются вокруг ядра и обладают орбитальным угловым моментом помимо спина, в то время как ядро само по себе имеет угловой момент благодаря ядерному спину. Магнитное поле, создаваемое магнитным моментом атома, определяется этими различными формами углового момента, как и в классической физике вращающиеся заряженные объекты создают магнитное поле. Однако, наиболее значительный вклад происходит от спина. Благодаря свойству электрона, как и всех фермионов, подчиняться правилу запрета Паули , по которому два электрона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии, связанные электроны спариваются друг с другом, и один из электронов находится в состоянии со спином вверх, а другой — с противоположной проекцией спина — состояние со спином вниз. Таким образом магнитные моменты электронов сокращаются, уменьшая полный магнитный дипольный момент системы до нуля в некоторых атомах с чётным числом электронов. В ферромагнитных элементах, таких как железо, нечётное число электронов приводит к появлению неспаренного электрона и к ненулевому полному магнитному моменту. Орбитали соседних атомов перекрываются, и наименьшее энергетическое состояние достигается, когда все спины неспаренных электронов принимают одну ориентацию, процесс известный как обменное взаимодействие. Когда магнитные моменты ферромагнитных атомов выравниваются, материал может создавать измеримое макроскопическое магнитное поле. Парамагнитные материалы состоят из атомов, магнитные моменты которых разориентированы в отсутствии магнитного поля, но магнитные моменты отдельных атомов выравниваются при приложении магнитного поля. Ядро атома тоже может обладать ненулевым полным спином. Обычно при термодинамическом равновесии спины ядер ориентированы случайным образом. Однако, для некоторых элементов (таких как ксенон-129) возможно поляризовать значительную часть ядерных спинов для создания состояния с сонаправленными спинами —состояния называемого гиперполяризацией. Это состояние имеет важное прикладное значение в магнитно-резонансной томографии. Магнитное поле обладает энергией. Подобно тому, как в заряженном конденсаторе имеется запас электрической энергии, в катушке, по виткам которой протекает ток, имеется запас магнитной энергии. Если включить электрическую лампу параллельно катушке с большой индуктивностью в электрическую цепь постоянного тока, то при размыкании ключа наблюдается кратковременная вспышка лампы. Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции. Источником энергии, выделяющейся при этом в электрической цепи, является магнитное поле катушки. Энергия W м магнитного поля катушки с индуктивностью L, создаваемого током I, равна W м = LI 2 / 2

Соленоидом называют катушку цилиндрической формы из проволоки, витки которой намотаны в одном направлении (рис. 223). Магнитное поле соленоида представляет собой результат сложения полей, создаваемых несколькими круговыми токами, расположенными рядом и имеющими общую ось.

На рис. 223 показаны четыре витка соленоида с током Для наглядности полувитки, расположенные за плоскостью листа, изображены прерывистыми линиями. На этом рисунке видно, что внутри соленоида силовые линии каждого отдельного витка имеют одинаковое направление, тогда как между соседними витками они имеют противоположные направления Поэтому при достаточно плотной намотке соленоида противоположно направленные участки силовых линий соседних витков взаимно

уничтожатся, а одинаково направленные участки сольются в общую замкнутую силовую линию, проходящую внутри всего соленоида и охватывающую его снаружи.

Детальное изучение магнитного поля длинного соленоида, проведенное с помощью железных опилок, показывает, что это поле имеет вид, изображенный на рис. 224. Внутри соленоида поле оказывается практически однородным, вне соленоида - неоднородным и сравнительно слабым (густота силовых линий здесь весьма мала).

Внешнее поле соленоида подобно полю стержневого магнита (см. рис. 212). Как и магнит, соленоид имеет северный С и южный полюсы и нейтральную зону.

Напряженность магнитного поля внутри длинного соленоида рассчитывается по формуле

где I - длина соленоида, число его витков, сила тока в нем. Произведение принято называть числом ампер-витков

Формула (18) является частным случаем выражения напряженности поля внутри соленоида конечной длины, которое в свою очередь выводится следующим образом.

На рис. 225 изображен продольный разрез соленоида вертикальной плоскостью, проходящей через его ось. Длина соленоида I, радиус его витков число витков сила тока, идущего по соленоиду,

Рассматривая соленоид как совокупность вплотную приложенных друг к другу витков (круговых токов имеющих общую ось, определим напряженность магнитного поля в точке А на оси соленоида как сумму напряженностей от всех его витков. Для этого выделим малый участок длины соленоида.

В нем содержится витков. Согласно формуле (17), напряженность поля одного витка Поэтому напряженность поля от участка будет равна

Из рис. 225 видно, что Тогда Подставляя эти выражения в

формулу (19) и производя сокращения, получим

Интегрируя последнее выражение в пределах от до найдем полную напряженность поля в точке А:

Соленоид - это проволочная катушка цилиндрической формы. Его можно представить себе как множество сложенных в стопку круговых витков с током. Силовые линии магнитного поля, создаваемого электри­ческим током в соленоиде, показаны на рис. 6.6. Как видно из этого рисунка, внутри соленоида силовые линии почти прямые. Чем длин­нее соленоид, т.е. чем больше его длина по сравнению с его радиусом, тем меньше кривизна силовых линий внутри соленоида. В таком случае вектор В магнитной индукции поля внутри соленоида будет направлен параллельно его оси. Причем так, что его направление будет связано с направлением тока в соленоиде правилом правого винта. Направим ось х вдоль оси соленоида. При этом проекция вектора магнитной индукции на ось х будет равна его модулю, а все другие его проекции будут равны нулю:

B x =B, B y =B z =0.

Подставим эти проекции вектора В в уравнение (6.12). Получим

Из этого равенства вытекает, что внутри соленоида вектор магнитной индукции не только сохраняет свое направление, но его модуль здесь всюду одинаков. Таким образом, приходим к выводу, что внутри длин­ного соленоида магнитное поле является однородным.

Рис. 6.6. Магнитное поле соленоида

Найдем модуль вектора магнитной индукции поля внутри соленоида при помощи теоремы (6.8) о циркуляции этого вектора. В качестве кон­тура С, по которому будем вычислять циркуляцию вектора магнитной индукции, выберем ломанную линию, изображенную пунктиром на рис. 6.6. Отрезок этой линии длиной l находится внутри соленоида и совпа­дает с одной из силовых линий магнитного поля. Две перпендикулярные этому отрезку прямые начинаются на его концах и уходят в бесконеч­ность. Во всех точках этих прямых вектор магнитной индукции или перпендикулярен им (внутри соленоида), или равен нулю (вне соленои­да). Поэтому скалярное произведение Вdl в этих точках равно нулю. Таким образом, циркуляция магнитной индукции по рассматриваемому контуру С будет равна интегралу по отрезку силовой линии длиной l. С учетом того, что модуль вектора магнитной индукции есть постоянная величина будем иметь

Пусть число витков соленоида, охватываемых контуром С, равно N. При этом сумма токов, охватываемых контуром, будет равна NI, где I - сила тока в одном витке соленоида. Теорема (6.8) приводит к равенству

Вl = μ o NI ,

из которого найдем магнитную индукцию поля в соленоиде:

В = μ o nI

n-число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.

Магнитное поле прямого тока

Рассмотрим магнитное поле, создаваемое электрическим током, теку­щим по тонкому бесконечно длинному проводу. Такая система обладает цилиндрической симметрией. Вследствие этого магнитное поле должно обладать следующими свойствами:

1) на любой прямой, параллельной проводу с током, вектор магнитной индукции должен быть всюду оди­наков;

2) при повороте всего магнитного поля целиком вокруг провода оно не изменяется. В таком случае силовыми линиями магнитного поля должны быть окружности, центры которых лежат на оси провода с то­ком (рис, 6.7), а вектор В на любой из этих окружностей всюду имеет один и тот же модуль.

При помощи теоремы (6.8) о циркуляции вектора магнитной индук­ции найдем модуль этого вектора. С этой целью вычислим циркуляцию магнитной индукции по одной из силовых линий С, радиус которой ра­вен а. Так как вектор В является касательным к силовой линии, он коллинеарен векторному элементу dl этой линии. Поэтому

где В - модуль вектора магнитной индукции, который, как было сказано, всюду на окружности С один и тот же. Вынесем В за знак интеграла. После интегрирования будем иметь

= В 2p a

Рис. 6.7. Силовые линии магнитного поля прямого токи

Так как контур С охватывает всего один провод с током I, теорема (6.8) приводит к равенству

2p a В = μ o I

Отсюда найдем, что на расстоянии а от бесконечного прямого провода с током I индукция создаваемого им магнитного поля будет

В = μ o I/ (2p a) (6.15)

Как видно из рис. 6.7, направление вектора В и направление тока I связаны правилом правого винта. В том, что это действительно так, нетрудно убедиться при помощи закона Био - Савара - Лапласа.

Взаимодействие токов

Рассмотрим два тонких параллельных друг другу прямых провода с токами I 1 и I 2 (рис. 6.8.). Если расстояние R между проводами много меньше их длины, то магнитную индукцию поля, создаваемого первым проводом на этом расстоянии, можно найти по формуле (6.15):

В = μ o I 1 / (2p R)

Направление вектора В 1 связано с направлением тока I 1 правилом пра­вого винта. Этот вектор изображен на рис. 6.8.

Рис. 6.8. Взаимодействие токов

Магнитное поле, создаваемое первым током, будет действовать на вто­рой провод с силой Ампера F 21 , которая определяется формулой (5.8):

(6.17)

F 21 = I 2 [l 2 B 1 ]

где l 2 - вектор, длина которого равна длина l рассматриваемого участка второго провода. Этот вектор направлен вдоль провода по направлению тока. Модуль силы (6.17) будет

F 21 = I 2 l B 1 . (6.18)

Подставив выражение (6.16) в формулу (6.18), получим следующее выра­жение для силы, с которой первый провод действует на участок второго провода длины l:

F 21 = μ o I 1 I 2 l / (2p R)

Направление силы F 21 найдем по формуле (6.17). Когда токи I 1 , I 2 текут в одном направлении эта сила будет направлена в сторону первого провода. Сила F 12 , с которой второй провод действует на участок первого провода длины l, равна по модулю и противоположна по направлению силе F 21 .

Итак, установлено, что параллельные провода с токами, текущими в одном направлении, притягиваются. Нетрудно доказать, что провода с токами, текущими в противоположных направлениях, отталкиваются друг от друга.

При помощи формулы (6.19) определена единица силы тока в СИ. Как известно, эта единица называется ампер. По определению два длинных тонких провода с токами силой в один ампер, расположенные парал­лельно на расстоянии 1 м один от другого, взаимодействуют с силой 2 10 -7 Н на 1 м длины. Подставив эти значения в формулу (6.19), найдем, что магнитная постоянная

m 0 = 4p 10 -7 Н/м.

Единица заряда в СИ - кулон - выражается через единицу силы тока: Кл = А*с. Измерения силы взаимодействия двух точечных зарядов в 1 Кл привели к значению F = 9 10 9 Н при расстоянии между зарядами R = 1 м. Используя эти значения, найдем электрическую постоянную e 0 из закона Кулона

F =| Q 1 Q 2 | /(4pe 0 R 2 )

Интересно отметить, что величина

1/Öe 0 m 0 =3 10 8 м/с

численно равна скорости света в пустоте.